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2007年01月25日(木)
幾何学と留年？ |
テストがいよいよ近いので超必死だ。幾何学にいたっては講義がわからなければ本やWikiにまで手をそめて勉強している。おかげでとりあえず講義でやっている幾何学はいわゆる中学でやるようなユークリッド幾何学ではなく，ルネッサンス美術における再現絵画を実現するための射影幾何学だということがわかった。
今の時期にこれをやっとわかること自体，終わってる。射影幾何学というのは，現実の対象を二次元のキャンパスに投影したらどうなるか，ということだ。これを射影変換（もしくは射影写像）という。射影変換は，ある像を投影する配景変換を組み合わせている原理がある。遠近法なんてのが美術ではあるが，もともとダヴィンチとかラファエロがこの分野の出発点である。
講義ではやたらと無限遠点なんてのがでてきてなんですかそれってそこでおとといまでずーっとわからなくてつまづいていたんだが，絵画の消失点のことだと本で読んで納得。再現美術では，すべてある一点を起点としてそこから広がっているような構造で描くのが常識なわけだが，この一点を消失点（別の見方をすれば生成点）という。射影幾何学もすべては無限遠点ってものからはじまるわけだ。
射影幾何学は他の幾何学と違うのがそのはじまりが数学ではなくて美術にある点だ。つまり，アルキメデスだのピタゴラスだのは関係ない学問であり，本来の体系としては数学の中で珍しく非数学的でわかりやすい学問だともいえる。また後にこれはユークリッド幾何をこえた幾何学の原点にあることもわかっている。ユークリッドですらこいつの一部なわけだ。
射影幾何学で興味深いのは，投影を用いる関係から距離や形の概念を失うことだ。ということは単純な比すら失うことを意味する。ではなにが保存されて，それで1：1対応になっているかというと，複比というものが保存されている。その公式は線上のABCDという点をキャンバスにA'B'C'D'と投影したとき，(AC/CB)/(AD/DB)=(A'C'/C'B')/(A'D'/D'B')が保存されていることがわかっている。
また，射影幾何学には双対性がある。パスカルの定理とディアンションの定理なんてのがあって，それらは円に内接する六角形が有するところの線と円に外接する六角形が有するところの点って感じなんだが，射影する事象については，点と線，含むと含まれる，積と和を入れ替えたものが同じ性質をもつという性質があることがわかっている。こいつを双対性という。ユークリッド幾何学にはこういうものはないので（同じようにいれかえると矛盾する），興味深い特徴の１つである。
射影幾何学には本に色々発見者の名前がでてきて，射影幾何学の父（双対性をちゃんと発見）はポなんとかって人だった。なんかみんな当然だが鈴木とか山田って名前じゃない関係から定理の内容より覚えられないんだが，なんとかデサルグって人の定理も興味深いらすぃ。
デサルグは以下を発見した。三角形をキャンバスに投影することを考える。まぁ，キャンバスが小さいかとても大きいかして，２つの三角形の対応する頂点同士を結ぶとなんか交点が得られる。これを講義では配景の中心とかよんでいた。そういうのをもつとき，対応する辺どうしがつくる交点３つが実はある直線をあらわしているということをみつけた。これを配景の軸とよんでいた。もちろん双対性からこいつの逆も同じようにいうことができる。まぁだからなんだと思ったわけだが。
重要なのはなんでユークリッド幾何学じゃなくて射影幾何学を教えているのか，だ。ユークリッドは小学生中学生でやることである（平行とか長さ直角とかね）。大学生が学力低下しているならユークリッドをやれという話である。ではそれをやらない理由は，大学生学力低下しているからではなく，大学生ならＣＧくらい作れろという話が理由で，結局のところはＣＧのコンパイルがどうなっているかを議論したいらすぃ。今（というより地味に昔だが）ＣＧの研究が盛んで，コンピュータでいかに現実のものを画面に表示するかということが研究された。その考え方自体はルネサンス時期に射影幾何学ということであったんだが，こいつをどうコンピュータに取りこむかが課題だった。よって，工学部ではＣＧやるからまぁ射影幾何学くらいはやっとこうぜおまいらって話は一般的にはあるらしい。
ということでまとめたコピー用紙（ノートきれたから幾何学と数値計算法はコピー用紙にノートとってる）には発見者の名前とか，座標系のことがかいてあったＷｅｂのこととかもあるので，直前になってもう死ぬぽになったらまた詳しくかくことにする。
ちなみに，勉強というとどうしてもはかどらないことはある。そんなとき，こういうページをみてほんとやる気をだすようにしている。これとこれ。読んでるとまじでやばい感がこみあげてくれる良ページだと思う。ちなみに親とは冬休みにもし留年したらということも話し合ってあったりしていて，まぁ進路を大学院にいきたいんだがって話し合いだったんだが，進級できたら大学院にいって，留年したら大学院にいかずに４年で卒業して就職するか，その時点で大学をやめてフリーターとしてすぐに働くという結論だったと思うので，結構てんぱってたりもする。
はぁ。死ぬ。というわけでほんと勉強しなきゃいけないのに作曲したかったりもするのはどうしてですか自殺したい。
ではでは。 |
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