DiaryINDEX｜past｜will
| 2007年12月05日(水) | 振り子とバネの運動 |
糸に錘をつるして左右に振らせる。このとき、一往復にかかる時間を「振り子の周期」という。この周期は糸の長さLのルートに比例している。円周率πと重力加速度ｇを用いて式を書けば、次のようになる。
T=２π√L/ｇ
つまり、長さがこの４倍になれば周期が２倍になる。また長さがおなじ振り子は錘の重さや振幅に関わらず周期がひとしい。これを「振り子の等時性」といい、振り子時計はこれを利用して作られている。
なぜ、周期が長さのルートに比例しているのか、これを直感的に説明するのはむつかしいが、簡単に言えば、平衡点からずれると、そのずれｘに比例した大きさの力（復元力）が平衡点のほうに働くとき、その物体は三角関数を用いて表されようなある規則的な振動（単振動）をする。
ｘ＝Csin（ωｔ＋φ）
ここで、ｔは時間である。ωは角振動数、φは初期位相とよばれる量だ。これは半径Cの円を等速運動する点を、横から眺めた運動だと思えばよい。このとき、点は振幅Cで振動して見える。そしてｔ＝２π/ω 秒で１往復する。
バネの場合がわかりやすいので、これで説明しよう。いま、平衡点からのずれをｘとし、復元力をFとする。そうするとｋをバネの弾性係数として、次の式が成り立つ。
F＝−ｋｘ ……（１）
これと、ニュートンの運動方程式、
F＝ma ……（２）
より、次の式が得られる。
ma＝―ｋｘ ……（３）
ここで、加速度a＝ｄv/dt、v＝ｄｘ/dt である。つまり、（３）はｘについて２階の微分方程式になる。これを解けば、ｘが満たす関数が次のように求まる。
ｘ＝Csin（ωｔ＋φ） ……（４）
ここでω＝√ｋ/m である。周期はTはωT=２πより次のように求められる。
T=２π/√ｋ/m＝２π√ｍ/ｋ ……（５）
ところで、振り子の場合は回転角をθとすると、近似的につぎの関係式が成り立つ。
ｍa＝―ｇｍｘ/L ……（６）
（３）と比較すると、ｋ＝ｇｍ/L なので、
T＝２π√ｍ/ｋ＝２π√L/ｇ ……（７）
これで振り子の周期が糸の長さのルートに比例していることがわかる。また、実験でTとLを観測すると、この式を用いて重力加速度ｇが求まる。糸に錘をつるして降らせるだけで簡単に重力加速度を求めることができるので、高校の物理の授業でもこの実験がよく行われる。
最後に１メートルの振り子のおおよその周期を求めてみよう。π＝３、ｇ＝１０を代入して、（７）式から理論値を計算してみると、次のようになる。
T=２×３×√１/１０＝６×√１０/１０＝０．６×３．１６＝１．９（秒）
さっそく１メートルの振り子をこしらえて、実際に計ってみると、６０秒間にちょうど３０回の振れが観測された。１メートルの振り子の周期が２秒というのは覚えやすい。２秒間で１往復と覚えておけば、これはにわかつくりの簡易時計として役立ちそうである。
（今日の一首）
部屋の中振り子振らして愉快がる
中年親父のはるかな郷愁
