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| 2008年01月12日(土) | 誕生日が同じ確率 |
３学期に入って最初の４年生の授業で、地球の円周についてのクイズを終え、それでは授業をと思ったら、K君がすかさず第二弾を出した。これも面白かったので、授業でとりあげることにした。
＜４０人のクラスがある。この中に誕生日が同じ人がいる確率は次のどれか？＞
�� 約１０パーセント
�� 約３０パーセント
�� 約５０パーセント
�� 約７０パーセント
�� 約９０パーセント
これは�，箸��△氾�える生徒が多かった。その気持はわかる。一年は３６５日もある。経験的に見ても、誕生日が同じなんていうことは、それほどあることではない。私自身、これまで交際した人はかなりいるが、誕生日が同じだったのは一人だけだ。（その女性とは、それが機縁になって、何回かデートをした）
たとえば、私が道を歩いていて、だれかとすれ違ったとしよう。私とその未知の人とが同じ誕生日である確率は、１/３６５である。パーセントにすると、わずか０．２７パーセントである。これはとても稀なできごとである。
しかし、４０人のクラスだと、少し事情が違ってくる。たとえば４０人から二人を選び出す組み合わせの総数は、４０×３９/２＝７８０ 通りもある。だから、誕生日が同じ人がいる確率は、かなり高くなるわけだ。じつは正解は�ヌ鵤坑哀僉璽札鵐箸任△襦�
計算は少し面倒だが、これも高校で確率の授業を受けていれば基本的に解ける問題だ。私の４年生のクラスの生徒も、確率については２年生のときに学習している。しかし、出題者のK君をはじめ、だれも解けなかった。
この問題は正攻法ではなく、裏技を使うとよい。つまり、４０人のなかに誕生日が同じ人がひとりもいない確率を計算する。そして１からこの確率を引けばよい。Aである確率を求めるために、Aでない確率（余事象の確率）をもとめて、全体の確率１からの引き算でAの確率を求めることはよく用いられる手法である。
４０人のなかに誕生日が同じ人がひとりもいない確率は割合簡単に求められる。たとえばいまクラスのメンバーとして、A君、B君、C君、D君、……の４０人がいるとしよう。そうすると、B君の誕生日がA君と重ならない確率は、３６４/３６５である。
さらにC君がA君、B君と重ならない確率は３６３/３６５である。同様にD君がA君、B君、C君と誕生日が違っている確率は３６３/３６５となる。この確率を最後の一人までもとめ、これを掛け合わせれば、４０人のなかに誕生日が同じ人がひとりもいない確率が計算でできる。
364/365×363/365×362/365×……×326/365
＝０．１０６
私はこの計算に計算機を使ったが、それでも１０分近くかかった。エクセルのセル計算を利用すれば、もっと早くできる。それはともかく、したがって、だれか誕生日が同じ人がいる確率は、次のようになる。
１−０．１０６＝０．８９４
つまり、４０人が集れば、約９０パーセントの確率で、そのなかに誕生日がまったく同じ人がいるわけだ。これは思ったより大きな値である。２人ではまれな出来事も、４０人あつまればあたりまえのことになってしまう。その理由は人数が増えると組み合わせの数が、飛躍的に多くなるからだ。集団の効果は大きく、馬鹿にできない。
さて、昨日私はエクセルの表計算機能をつかって、クラスの人数と誕生日が一致する生徒が存在する確率の相関表を求めてみた。その結果を最後に紹介しておこう。
２３人 …… ５０．７％
４０人 …… ８９．１％
５０人 …… ９７．０％
６０人 …… ９９．４％
これによると、２３人あつまれば誕生日が同じ人がいる可能性が半分あることになる。５０人もあつまれば、もうまちがいなく、誕生日の同じペアが存在すると考えていいだろう。
